Златното сечение е пропорция, която се счита за най-съвършената и хармонична от древни времена. Той формира основата на много древни структури, от статуи до храмове, и е много разпространен в природата. В същото време тази пропорция се изразява в изненадващо елегантни математически конструкции.
Инструкции
Етап 1
Златната пропорция се определя по следния начин: това е такова разделяне на сегмент на две части, че по-малката част се отнася до по-голямата по същия начин, както по-голямата част се отнася до целия сегмент.
Стъпка 2
Ако дължината на целия сегмент се приеме за 1, а дължината на по-голямата част се вземе като x, тогава търсената пропорция ще се изрази чрез уравнението:
(1 - x) / x = x / 1.
Умножавайки двете страни на пропорцията по x и прехвърляйки членовете, получаваме квадратното уравнение:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Стъпка 3
Уравнението има два истински корена, от които естествено се интересуваме само от положителното. То е равно на (√5 - 1) / 2, което е приблизително равно на 0, 618. Това число изразява златното съотношение. В математиката най-често се обозначава с буквата φ.
Стъпка 4
Числото φ притежава редица забележителни математически свойства. Например, дори от оригиналното уравнение се вижда, че 1 / φ = φ + 1. Всъщност 1 / (0, 618) = 1, 618.
Стъпка 5
Друг начин за изчисляване на златното съотношение е използването на безкрайна дроб. Започвайки от произволен x, можете последователно да конструирате дроб:
х
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
и т.н.
Стъпка 6
За улесняване на изчисленията тази част може да бъде представена като итеративна процедура, при която за да се изчисли следващата стъпка, трябва да добавите една към резултата от предишната стъпка и да я разделите на полученото число. С други думи:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Този процес се сближава и неговата граница е φ + 1.
Стъпка 7
Ако заменим изчислението на реципрочното с извличането на квадратния корен, тоест извършваме итеративен цикъл:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), тогава резултатът ще остане непроменен: независимо от първоначално избрания x, итерациите се сближават до стойността φ + 1.
Стъпка 8
Геометрично златното сечение може да бъде конструирано с помощта на обикновен петоъгълник. Ако в него нарисуваме два пресичащи се диагонала, тогава всеки от тях ще раздели другия строго в златното сечение. Според легендата това наблюдение принадлежи на Питагор, който бил толкова шокиран от намерения модел, че смятал правилната петолъчна звезда (пентаграма) за свещен божествен символ.
Стъпка 9
Причините, поради които именно златното сечение изглежда на човек най-хармонично, са неизвестни. Експериментите обаче многократно потвърждават, че субектите, които са били инструктирани да разделят сегмента на две неравни части, най-красиво го правят в пропорции, много близки до златното сечение.
